FUNIONES

Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello.  Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X.  La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes.  Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores  que toma Y constituye su recorrido".

Una función f de A en B es una relación que le hace corresponder a cada elemento x E A uno y solo un elemento y E B, llamado imagen de x por f, que se escribe y=f (x). En símbolos, f: A à B Es decir que para que una relación de un conjunto A en otro B sea función, debe cumplir dos condiciones, a saber: Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen. La imagen de cada elemento x E A debe ser única. Es decir, ningún elemento del dominio puede tener más de una imagen. El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algún elemento del dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de f.

Observaciones:
En una función f: A à B todo elemento x E A tiene una y solo una imagen y E B.
Un elemento y E B puede: No ser imagen de ningún elemento x E A Ser imagen de un elemento x E A Ser imagen de varios elementos x E A. La relación inversa f-1 de una función f puede no ser una función.

 

DEFINICION

La definición general de función hace referencia a la dependencia entre los elementos de dos conjuntos dados.

Dados dos conjuntos A y B, una función (también aplicación o mapeo) entre ellos es una asociación6 f que a cada elemento de A le asigna un único elemento de B.

Se dice entonces que A es el dominio (también conjunto de partida o conjunto inicial) de f y que B es suco dominio (también conjunto de llegada o conjunto final).

Un objeto o valor genérico a en el dominio A se denomina la variable independiente; y un objeto genérico b del dominio B es la variable dependiente. También se les llama valores de entrada y de salida, respectivamente. Esta definición es precisa, aunque en matemáticas se utiliza una definición formal más rigurosa, que construye las funciones como un objeto concreto.

 

RELACIÓN

Implica la idea de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas.

Cuando se formula una expresión que liga dos o más objetos entre sí, postulamos una relación (no necesariamente matemática) Por ejemplo:

Samuel es padre de Irma. (Samuel, Irma)

Del ejemplo anterior podríamos decir matemáticamente que:

S ---> I

Podemos definir la relación como la correspondencia que hay entre TODOS o ALGUNOS del primer conjunto con UNO o MÁS del segundo conjunto.

CLASIFICAION  DE FUNCIONES

·         Funciones algebraicas

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Las funciones algebraicas pueden ser:

·         Funciones explícitas

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

f(x) = 5x − 2

·         Funciones implícitas

Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

5x − y − 2 = 0

·         Funciones polinómicas

Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.

f(x) = a0 + a1x + a2x² + a2x³ +··· + anxn

Su dominio es, es decir, cualquier número real tiene imagen.

·         Funciones constantes

El criterio viene dado por un número real.

f(x)= k

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas, entre otras.

 

TIPOS DE FUNCIONES

Dependiendo de ciertas características que tome la expresión algebraica o notación de la función f en x, tendremos distintos tipos de funciones:

Función constante

Una función de la forma f(x) = b, donde b es una constante, se conoce como una función constante.

Por ejemplo, f(x) = 3, (que corresponde al valor de y) donde el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {3}, por tanto y = 3. La gráfica de abajo muestra que es una recta horizontal.

 

Función lineal

Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal, donde m representa la pendiente y b representa el intercepto en y. La representación gráfica de una función lineal es una recta. Las funciones lineales son funciones polinómicas.

Ejemplo:

f(x) = 2x − 1  

Es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, −1). Su gráfica es una recta ascendente.

 

En general, una función lineal es de la forma 

 

REPRESENTACIÓN GRAFICA

Para graficar una recta, alcanza con los datos que da la ecuación matemática de la función, y se opera de la siguiente manera:

1. Se marca sobre el eje y la ordenada al origen, el punto por donde la recta va a cortar dicho eje.

2. Desde ese punto, subo o bajo según sea el valor de “p” y avanzo o retrocedo según indique el valor de “q”. En ese nuevo lugar, marco el segundo punto de la recta.

3. Se podría seguir marcando puntos con la misma pendiente, pero con 2 de ellos ya es suficiente como para poder graficar la recta.

4. Teniendo ya los dos puntos, con regla se traza la recta que pasa por los mismos.

Ejemplo:

Graficar la siguiente función:

La ordenada al origen (3) me indica que me debo parar sobre el eje y en el 3.

De ahí subo 1 y avanzo 2, como me lo indica la pendiente.

 

También podemos graficar una función dando valores a x y obteniendo dos puntos en las coordenadas.

Ejemplo

Graficar  la función dada por  f(x) = 2x – 1

Solución

Como la función es lineal se buscan dos puntos de la recta; para ello, se le dan valores a  x  y se encuentran sus imágenes respectivas, esto es:

                          Si  x = 0, se tiene que  f(0) = 2(0) – 1 = − 1

                          Si  x = 2, se tiene que f(2) = 2(2) – 1 = 3

Así, los puntos obtenidos  son (0, −1) y (2, 3), por los cuales se traza la gráfica  correspondiente.

 

Veamos ahora el proceso inverso; o sea, si tenemos la gráfica de una función queremos encontrar su expresión analítica o matemática.

Para eso, necesitamos encontrar una expresión de la forma  f(x) = ax + b a partir de la gráfica.

Por ejemplo, a partir de la siguiente gráfica, vamos a calcular su expresión matemática.

                                                                                                        
La imagen de 0 es b porque f(0) = a(0) + b = b  luego b = –3

Tomamos otro punto, por ejemplo, el (2, 1);  el 1 es la imagen del 2 luego se cumple que:

1 = a(2) + b   →    1 = 2a – 3   →  4 = 2a  →     a = 2

Nuestra recta será:           f(x) = 2x – 3.