INTRODUCCIÓN
Introducción
La Teoría Combinatoria estudia las agrupaciones que pueden ser formadas cuando se toman todos, o algunos, de los elementos de un conjunto .nito. Los elementos del conjunto pueden ser de cualquier naturaleza: números, personas, empresas, artículos producidos por una fábrica, etc. La Teoría Combinatoria estudia especialmente el número de agrupaciones que pueden ser obtenidas bajo algún modo de composición de los elementos. Para ello, distingue básicamente tres conceptos: arreglos, permutaciones y combinaciones. Para calcular probabilidades, muchas veces es necesario determinar la cantidad de elementos de un conjunto dado (cardinal del conjunto), o la cantidad de elementos del conjunto integrado por las agrupaciones que podemos realizar tomando algunos de los elementos. A menudo, la tarea de contarlos uno a uno resulta tediosa. En cambio, para poder contar resulta de mucha utilidad el llamado Principio Fundamental de Conteo y los aportes realizados por la Teoría Combinatoria.
1-LEY MULTIPLICATIVA PROBABILIDAD
La ley multiplicativa de probabilidades indica que la probabilidad de que dos sucesos A y B ocurran simultáneamente es igual a: La ley multiplicativa anterior se utiliza también con el fin de determinar una probabilidad condicional a partir de los valores de y: Supongamos, por ejemplo, que queremos estudiar la incidencia del hecho de ser fumador como factor de riesgo en el desarrollo de una enfermedad en una determinada población. Para ello se diseñó un estudio prospectivo y, tras seleccionar una muestra de 180 sujetos, los resultados son los que se muestran en la Tabla1. Considerando toda la muestra, la probabilidad de desarrollar la enfermedad (E) en la población de estudio es: Para calcular la probabilidad de eventos es necesario que éstos se comporten de una manera más o menos estable. Precisamente, se echa mano de la regularidad estadística, que es la propiedad de los fenómenos aleatorios, y que consiste en que al aumentar el número de repeticiones de un experimento en condiciones prácticamente constantes, la frecuencia relativa de ocurrencia para cada evento tiende a un valor fijo.
Sin embargo, al momento de definir la probabilidad de un evento podemos tomar en cuenta los siguientes criterios:
· La probabilidad subjetiva de un evento se la asigna la persona que hace el estudio, y depende del conocimiento que esta persona tenga sobre el tema. Precisamente por su carácter de subjetividad no se considera con validez científica, aunque en la vida diaria es de las más comunes que se utilizan al no apoyarse más que en el sentido común y los conocimientos previos, y no en resultadosestadísticos.
· La probabilidad frecuencia de un evento es el valor fijo al que tienden las frecuencias relativas de ocurrencia del evento de acuerdo a la regularidad estadística. Esta definición sería la más real, pero proporciona probabilidades aproximadas, es decir, proporciona estimaciones y no valores reales. Además, los resultados son a posteriori, pues se necesita realizar el experimento para poder obtenerlo. (Para ver un ejemplo haz click aquí.)
· . La probabilidad clásica de un evento E, que denotaremos por P(E), se define como el número de eventos elementales que componen al evento E, entre el número de eventos elementales que componen el espacio maestral:
Es la definición más utilizada porque supone de antemano, y se necesita como requisito indispensable, que todos los eventos elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir. Dependencia e independencia de sucesos En algunas ocasiones aparecen dependencias entre dos sucesos, es decir, la ocurrencia (el hecho de que se verifique uno de ellos) influye en la ocurrencia del otro. Observa el siguiente ejemplo. En una baraja española suprimimos una carta, por ejemplo, el as de oros. A continuación, extraemos una carta elegida al azar. Obtenemos un premio si la carta extraída es un "Rey", suceso que denotamos por "R".
2- DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA DE SUCESOS
En algunas ocasiones aparecen dependencias entre dos sucesos, es decir, la ocurrencia (el hecho de que se verifique uno de ellos) influye en la ocurrencia del otro. Observa el siguiente ejemplo. En una baraja española suprimimos una carta, por ejemplo, el as de oros. A continuación, extraemos una carta elegida al azar. Obtenemos un premio si la carta extraída es un "Rey", suceso que denotamos por "R".
Utilizando la Regla de Laplace obtenemos: 
.
Ahora, alguien nos informa que la carta extraída ha sido un oro, "O", ¿crees que esta información modificaría nuestra probabilidad de obtener premio?
Es inmediato que si el resultado ha sido un oro nuestras posibilidades son nueve, y el espacio muestral está formado por estas nueve cartas:
y tienes un único caso a tu favor (el rey de oros), con lo que obtendrás premio una de cada nueve veces, es decir 1/9=4/36, mejorando bastante nuestras posibilidades de éxito.
Observa que esto indica que, con una baraja como la del ejemplo, hay una cierta dependencia entre los sucesos "Rey" y "Oro", en estos casos se dice que ambos sucesos son dependientes. De hecho,
Sin embargo, si te planteas de nuevo el problema anterior cuando disponemos de una baraja completa, obtendrás que los sucesos "Rey" y "Oro" son independientes, ya que;
Concretando, dos sucesos A y B son independientes si la ocurrencia de uno no influye en la del otro o al revés y se verifica que
Si tienes en cuenta la definición de probabilidad condicionada, verás que dos sucesos son independientes, si cumplen una cualquiera de las tres condiciones siguientes:
Es importante que no confundas la idea de sucesos independientes con la de sucesos incompatibles. Dos sucesos son incompatibles cuando no pueden verificarse ambos a la vez, es decir si
. De hecho, si dos sucesos son incompatibles y no tienen probabilidad nula, automáticamente son dependientes.
3- TEOREMA DE BAYES
En la teoría de la probabilidad el teorema de Bayes es un resultado enunciado por Thomas Bayes en 17631 que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dadoB en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.
En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza, muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.
· FÓRMULA DE BAYES
Con base en la definición de Probabilidad condicionada, obtenemos la Fórmula de Bayes, también conocida como la Regla de Bayes:
· APLICACIONES
El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional sólo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional de un experimento. La estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y el hecho de permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia empírica es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento. Una aplicación de esto son los clasificadores bayesianos que son frecuentemente usados en implementaciones de filtros de correo basura o spam, que se adaptan con el uso.
Como observación, se tiene 
y su demostración resulta trivial.
4- TEORIA COMBINATORIA
La combinatoria es una rama de la matemática que estudia colecciones finitas de objetos que satisfacen unos criterios especificados, y se ocupa, en particular, del recuento de los objetos de dichas colecciones y del problema de determinar si cierto objeto "óptimo" existe.
· TEOREMA DEL CONTEO
El principio fundamental del conteo dice que si puedes hacer “n” tareas, cada una de n_k maneras diferentes, el número de formas de hacer la tarea que consiste en todas las “n” tareas es: n_1*n_2*...n_k, es decir, el producto de las formas en que puedes hacer cada tarea. Ejemplo: Si tienes 3 camisas, 5 pantalones y 7 pares de zapatos, el número de vestidos que puedes formar es: 3 x 5 x 7 = 105.
· PERMUTACIONES
En el conjunto {1, 2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1". La noción de permutación suele aparecer en dos contextos: ü Como noción fundamental de combinatoria, centrándonos en el problema de su recuento. ü En teoría de grupos, al definir nociones de simetría. La permutación antes citada "1, 3,2" puede verse como la imagen de una aplicación σ que lleva la lista inicial de objetos (1, 2, 3) en la lista de objetos reordenados (1, 3, 2). De este modo σ (1)=1, σ (2)=3 y σ (3)=2. También podemos definir a la permutación como la propia aplicación σ. Así, formalmente, una permutación de un conjunto X es una biyección de X en sí mismo. Aunque esta segunda definición generaliza a la primera al admitir conjuntos infinitos, el término permutación se usa principalmente para un conjunto finito X.
· VARIACIONES
Vn, m: sirve para contar los diferentes grupos de m elementos que se pueden formar en un conjunto de n elementos (m < n). Los elementos no se pueden repetir e influye el orden en el que los colocamos. V n, m = n (n - m) ü Variaciones con repetición: de n elementos tomados de m en m, VRn, m: es una variación en la que los elementos se pueden repetir. VRn, m = nm.
· COMBINACIONES
Una combinación es un arreglo donde el orden NO es importante.
La notación para las combinaciones es C(n,r) que es la cantidad de combinaciones de “n” elementos seleccionados, “r” a la vez. Es igual a la cantidad de permutaciones de “n” elementos tomados “r” a la vez dividido por “r” factorial. Esto sería P(n,r)/r! en notación matemática.
ü Ejemplo: Si se seleccionan cinco cartas de un grupo de nueve, ¿cuantas combinaciones de cinco cartas habría? La cantidad de combinaciones posibles sería: P(9,5)/5 = (9*8*7*6*5)/(5*4*3*2*1) = 126 combinaciones posibles.
· LA COMBINATORIA
Trata del número de diferentes maneras que existen de considerar conjuntos formados a partir de elementos de un conjunto dado respetando ciertas reglas. Así un problema combinatorio consiste usualmente en establecer una regla sobre como deben ser las combinaciones y determinar cuantas combinaciones existen que cumplan dicha regla. Un tipo importante de esas combinaciones son las llamadas permutaciones. Dada una n-tupla ordenada de elementos de un conjunto el número de permutaciones es el número de n-tuplas ordenadas diferentes que pueden construirse a partir de dicho conjunto.
Conclusión
Como pudimos observar la combinatoria constituye la base que sostiene el análisis y solución de muchos problemas sosteniendo ciertas reglas para realizarlos
El objetivo principal fue analizar bajo ciertos puntos de vista la los diferentes aspectos combinatorios presentes. Realizando problemas y mostrando algunas formas para resolverlos.
Ya mostrado algunos aspectos podemos decir que en la teoria combinatoria se presentan diferentes conceptos y elementos, los cuales hay que conocer con mayor amplitud a la hora de realizar diferentes ejercicios que nos pueden trazar.
un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero (0). Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales
. Entonces, la probabilidad 
viene dada por la expresión:
en la hipótesis 
.
